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关于过直线4个焦点的二次曲线系证明思路

技术分享 edwardfang 5年前 (2013-12-17) 383次浏览 0个评论

下面正题:
四条直线   L1:x+37-15=0     L2:kx-y-6=0      L3:x+5y=0     L4:y=0   围成的四边形有外接圆,则 k 是多少?此时外接圆的方程是?

参考书给的解答:
设该四边形四个定点的二次曲线系方程为:(x+3y-15)(x+5y)+入(kx-y-6)y=0  展开得:
(15-入)y^2+x^2+(8+入 k)xy-15x-(15+6 入)y=0                         下面就简单了  

我的问题是:
将对边的方程相乘并相加有什么意义???  为什么将对边方程相乘并相加 化简后就可以得到想要的方程??
还有  我做解析几何时 参考书上的答案常常用 入  直线系方程  圆系方程  二次曲线系方程等等 这样解题方便的不得了
为什么加个入 就有意想不到的效果???  用系方程解题时有没有什么技巧???  

证明思路:
L1(x,y)=0,L2(x,y)=0, L3(x,y)=0, L4(x,y)=0; 是四条两两不重合的直线
考察曲线系 mL1L3+nL2L4=0; (m,n 不同时为零)
易知,L1 与 L2、L2 与 L3、L3 与 L4、L4 与 L1 的交点,是这个曲线系中所有曲线的公共点。
(高中要考虑这四个交点的存在,并且要是两两不重合的、无三点共线的才便于继续讨论,所以需要作点假定,这里从略)

此外,mL1L3+nL2L4 是个至多两次的多项式,其实更进一步,他一定是两次的,因为它过四个不共线的点。

那么是不是过这四个点的所有二次曲线都在这个曲线系内呢?由于五点确定一条二次曲线,我们任意取定平面上一个不同于已知四点的点作为第五点,代入曲线系方程,得到 ma+nb=0 这样一个方程,这里 a,b 不会同时为 0,那么 m=-b,n=a 所确定的曲线就过这五个点,因此,这个曲线系就是过这四个点的所有二次曲线组成的曲线系。

实际我们经常用 L1L3+λL2L4=0;区别就在于这种曲线系中不包含 L2L4=0 这条二次曲线。


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